Question

2．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（2，1）
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）设出$\overrightarrow{c}$的坐标，结合已知列式求解；
（2）由$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，可得$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的数量积为0，代入数量积公式求解．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{c}=（4，2）$或$\overrightarrow{c}=（-4，-2）$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即$2{\overrightarrow{a}}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}=0$，
∴$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}+3|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ-2|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$．
则$2×5+3×\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}cosθ-2×\frac{5}{4}=0$，
∴cosθ=-1，
∵θ∈[0，π]，∴θ=π．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积的坐标表示，是基础的计算题．