Question

定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g(x)+2g(-x)=ex+

2

ex

-9，h(-2)=h(0)=1且h（-3）=-2．
（Ⅰ）求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）对于x₁，x₂∈[-1，1]，均有h（x₁）+ax₁+5≥g（x₂）-x₂g（x₂）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设f(x)=

g(x)，(x＞0) h(x)，(x≤0)

，讨论方程f[f（x）]=2的解的个数情况．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：数形结合法,导数的综合应用

分析：（1）求抽象函数g（x）的解析式，运用了方程的思想；而h（x）是具体函数，可以直接设出来，用待定系数法求之．
（2）ϕ（x）≥F（x）恒成立，即：ϕ（x）_min≥F（x）_max，利用导数分别求出ϕ（x）和F（x）的最小值和最大值．
（3）利用数形结合，对参数进行讨论求出方程的根的个数．

解答： 解：（Ⅰ）∵g(x)+2g(-x)=ex+

2

ex

-9，①，在①中以-x代替x得：g(-x)+2g(x)=e-x+

2

e-x

-9，即g(-x)+2g(x)=2ex+

1

ex

-9，②
由①②联立解得：g（x）=e^x-3．
∵h（x）是二次函数，且h（-2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，
由h（-3）=-2，解得a=-1．
∴h（x）=-x（x+2）+1=-x²-2x+1，
∴g（x）=e^x-3，h（x）=-x²-2x+1．
（Ⅱ）设ϕ（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，F（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，
依题意知：当-1≤x≤1时，ϕ（x）_min≥F（x）_max，
∵F′（x）=-e^x+（1-x）（e^x-3）+3=-xe^x+3，在[-1，1]上单调递减，∴F′（x）_min=F′（1）=3-e＞0，
∴F（x）在[-1，1]上单调递增，
∴F（x）_max=F（1）=0，
∴

ϕ(-1)=7-a≥0 ϕ(1)=a+3≥0

，解得：-3≤a≤7，
∴实数a的取值范围为[-3，7]．
（Ⅲ）当f（x）＞0时，有e^f（x）-3=2，则f（x）=ln5，
当f（x）≤0时，有=-f（x）²-2f（x）+1=2，则f（x）=-1，
即若f[f（x）]=2，则有f（x）=-1或f（x）=ln5，
而f（x）的图象如图所示：
y=f（x）与y=-1有2个交点，与y=ln5有1个交点，
则f[f（x）]=2共有3个解．

点评：本题考查了：求函数解析式的方法，运用方程思想求抽象函数解析式，用待定系数法求具体函数解析式；利用最值解决恒成立问题；利用数结合法解决方程根的个数问题．这些问题都是我们经常遇到的，所以在平时应多多注意．这是一道综合性很强的导数试题．难度较大．