Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，SA=SC=

2

，BC=

1

2

AC，∠ASC=∠ACB=90°
（1）若点F在线段BC上，问：无论F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论；
（2）求二面角B-AS-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由平面SAC⊥平面ABC，结合面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ASC，可得BC⊥OE结合OE⊥SC及线面垂直的判定定理可得：OE⊥平面BSC，再由线面垂直的性质可得无论F在BC的何处，都有OE⊥SF
（2）由（1）中BC⊥平面ASC，可得AS⊥平面BCS，进而AS⊥SB，即∠BSC是二面角B-AS-C的平面角，解Rt△BCS可得二面角B-AS-C的平面角的余弦值．

解答： 解：（1）在△SAB中，
∵OE∥AS，∠ASC=90°
∴OE⊥SC
∵平面SAC⊥平面ABC，∠BCA=90°
∴BC⊥平面ASC，OE?平面ASC
∴BC⊥OE
∴OE⊥平面BSC
∵SF?平面BSC
∴OE⊥SF
∴无论F在BC的何处，都有OE⊥SF         
（2）由（1）BC⊥平面ASC
∴BC⊥AS
又∵∠ASC=90°
∴AS⊥SC
∴AS⊥平面BCS
∴AS⊥SB
∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角
在Rt△BCS中，cos∠BSC=

6

3

∴二面角B-AS-C的平面角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是熟练掌握空间线面垂直的判定定理，性质定理及几何特征；（2）的关键是构造出二面角的平面角．