Question

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，连结B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证：A₁C⊥平面EBD；
（2）求三棱锥A-A₁B₁C的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据三垂线定理证线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；
（2）利用V_A-A1B1C=V_C-A1B1A，可求三棱锥A-A₁B₁C的体积．

解答： （1）证明：∵长方体A₁C，∴A₁B₁⊥平面BC₁，B₁C为A₁C在平面BC₁上的射影，
∵BE⊥B₁C，由三垂线定理得，A₁C⊥BE，
同理A₁C⊥BD
∵BE∩BD=B，∴A₁C⊥面BDE．（6分）
（2）解：V_A-A1B1C=V_C-A1B1A=

1

3

S△A1B1A•CB=

1

3

•

1

2

•1•2•1=

1

3

．（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定及三棱锥A-A₁B₁C的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．