Question

17．甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．
（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？
（2）在（1）的条件下，设取出的3个球中红球的个数为ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）根据甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜，可得甲获胜的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；
（2）由题意知取出的3个球中红球个数ξ的取值为1，2，3，4，分别求出其发生的概率即可．

解答 解：（1）取出的3个球颜色全不相同x×y×1=种，总的基本事件有${{c}_{4}^{1}c}_{4}^{2}=24$种，可得甲获胜的概率P=$\frac{xy}{24}$
$\frac{xy}{24}≤\frac{（\frac{x+y}{2}）^{2}}{24}=\frac{1}{6}$，当且仅当x=y=2时“=”成立
所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大．
（2）取出的3个球中红球个数ξ=0，1，2，3
当ξ=0时，有${{c}_{2}^{2}c}_{2}^{1}=2$种情况，ξ=1时，有${{c}_{2}^{2}c}_{2}^{1}{{+c}_{2}^{1}c}_{2}^{1}=10$种情况，ξ=3时，有${{c}_{2}^{1}c}_{2}^{2}=2$种情况             ξ=2时，有24-2-10-2=10种情况．              
p（ξ=0）=$\frac{1}{12}$              p（ξ=1）=$\frac{5}{12}$              p（ξ=2）=$\frac{5}{12}$          p（ξ=3）=$\frac{1}{12}$ 
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

点评 考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的期望，考查基本不等式的运用，解题的关键是理解题意，搞清变量的所有取值及求相应的概率，属于中档题．．