Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x²+y²=12上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N₁（点N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴的交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的左顶点A在圆x²+y²=12上，求得a，由椭圆的一个焦点得c=3，由b²=a²-c²得b，即可．
（2）由题意，N₁（x₂，-y₂），可得直线NM的方程，令y=0，可得点P的坐标为（4，0）． 利用△PMN的面积为S=$\frac{1}{2}$|PF|•|y₁-y₂|，化简了基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C的左顶点A在圆x²+y²=12上，∴$a=2\sqrt{3}$
又∵椭圆的一个焦点为F（3，0），∴c=3∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则直线与椭圆C方程联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+3\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$
化简并整理得（m²+4）y²+6my-3=0，
∴${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{m^2}+4}}$…（5分）
由题设知N₁（x₂，-y₂）∴直线NM的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（x-{x_1}）$
令y=0得$x={x_1}-\frac{{{y_1}（{x_1}-{x_2}）}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{（m{y_1}+3）{y_2}+（m{y_2}+3）{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}$=$\frac{{\frac{-6m}{{{m^2}+4}}}}{{\frac{-6m}{{{m^2}+4}}}}+3=4$，
∴点P（4，0）…（7分）
${S_{△PMN}}=\frac{1}{2}|PF|•|{y_1}-{y_2}|=\frac{1}{2}×1×\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（\frac{-6m}{{{m^2}+4}}）}^2}-4（\frac{-3}{{{m^2}+4}}）}=2\sqrt{3}\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}}$…（9分）
=$2\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{{{m^2}+1+\frac{9}{{{m^2}+1}}+6}}}≤2\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{{2\sqrt{（{m^2}+1）\frac{9}{{{m^2}+1}}}+6}}}=2\sqrt{3}\sqrt{\frac{1}{6+6}}=1$（当且仅当${m^2}+1=\frac{9}{{{m^2}+1}}$即$m=±\sqrt{2}$时等号成立），
∴△PMN的面积存在最大值，最大值为1．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．