Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a-c=

6

6

b，sinB=

6

sinC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A-

π

3

）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由正弦定理和已知可先求得b=

6

c，a=2c，从而由余弦定理即可求得cosA的值；
（Ⅱ）由（I）可求得sinA的值，进而可求cos2A，sin2A的值，进而由两角差的余弦公式可求cos（2A-

π

3

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由

b

sinB

=

c

sinC

，及sinB=

6

sinC，可得b=

6

c，
又由a-c=

6

6

b，有a=2c，
所以，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

6c2+c2-4c2

2 6 c2

=

6

4

．
（Ⅱ）在△ABC中，由cosA=

6

4

，可得sinA=

10

4

，
∴cos2A=2cos2A-1=-

1

4

，sin2A=2sinAcosA=

15

4

，
所以，cos（2A-

π

3

）=cos2Acos

π

3

+sin2Asin

π

3

=

-1+3 5

8

．

点评：本题主要考察了两角差的余弦公式、正弦公式、余弦公式的综合应用，属于基础题．