Question

5．（1）证明函数f（x）=x³-1，是增函数．
（2）判断函数g（x）=e^x-e^-x的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析 （1）导数法根据已知中函数的解析式，求出函数导函数的解析式，进而根据在（-∞，+∞）上f′（x）≥0恒成立，得到函数f（x）=x³-1在（-∞，+∞）上是增函数．
（2）利用奇函数的定义即可判断．

解答 （1）证明：∵f（x）=x³-1，
∴f′（x）=3x²，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≥0恒成立
∴函数f（x）=x³-1在（-∞，+∞）上是增函数．     
 （2）解：函数的定义域为R，
∵g（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-g（x），
∴函数g（x）=e^x-e^-x是奇函数．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，考查函数的奇偶性，熟练掌握导数法判断函数单调性的方法和步骤是解答的关键．