Question

5．设函数f（x）=ax²-x+1，若命题：存在x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0为假命题，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$]
• C． （-∞，0）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 依题意，将“存在x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0为假命题”转化为“?x₁，x₂∈[1，2]，f′（x）=2ax-1≥0恒成立”，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：存在x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0为假命题
??x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≥0恒成立
??x₁，x₂∈[1，2]，f′（x）=2ax-1≥0恒成立
?a≥${（\frac{1}{2x}）}_{max}$=$\frac{1}{2}$．
即实数a的取值范围为：[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，将“存在x₁，x₂∈[1，2]，使$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0为假命题”转化为“?x₁，x₂∈[1，2]，f′（x）=2ax-1≥0恒成立”是关键，也是难点，考查等价转化思想与导数的运用，属于难题．