Question

7．狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}\right.$被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：
①若x是无理数，则D（D（x））=0；
②函数D（x）的值域是[0，1]；
③函数D（x）偶函数；
④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三个点A（x₁，D（x₁）），B（x₂，D（x₂）），C（x₃，D（x₃）），使得△ABC为等边角形．
其中正确结论的序号是②③④．

Answer 1

分析 ①，根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，从而可判断①；
②，根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，可判断②；
③，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f（x+T）=f（x），可判断③；
④，取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC为等边三角形恰好构成等边三角形，可判断④．

解答 解：①∵当x为有理数时，D（x）=1；当x为无理数时，D（x）=0，
∴当x为有理数时，D（D（x））=D（1）=1；当x为无理数时，D（D（x））=D（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有D（D（x））=1，故①不正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有D（-x）=D（x），故②正确； 
③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D（x+T）=D（x）对x∈R恒成立，故③正确； 
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得D（x₁）=0，D（x₂）=1，D（x₃）=0，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
即真命题是②③④，
故答案为：②③④．

点评 本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．