Question

7．盒中装有数字1，2，3，4，5的小球各取2个，从袋中一次性任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用ξ表示取出的三个小球上的最小数字，求随机变量ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A，一次取出的三个小球上有两个数字相同的事件记为B，则事件A和B是对立事件，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的3个小球上的数字互不相同的概率．
（2）由题意ξ=1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布和数学期望．

解答 解：（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A，
一次取出的三个小球上有两个数字相同的事件记为B，
则事件A和B是对立事件，
∴取出的3个小球上的数字互不相同的概率：
P（A）=1-P（B）=1-$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由题意ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{6}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{15}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
∴随机变量ξ的概率分布为：

ξ	1	2	3	3
P	$\frac{8}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{30}$

Eξ=$1×\frac{8}{15}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{2}{15}+4×\frac{1}{30}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．