Question

5．已知函数f（x）=x²+2ax+2定义在[-5，5]上．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使f（x）在[-5，5]上具有单调性；  
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）a=2，则f（x）=（x-1）²-4，再利用二次函数的性质，求得它的最值．
（2）根据函数f（x）在[-5，5]上具有单调性，f（x） 的图象的对称轴方程为x=-a，可得-a≤-5，或-a≥5，由此求得a的范围，
（3）对a进行分类讨论即可求出函数的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² （-5≤x≤5），
当a=-1时，f（x）=（x-1）²+1，（-5≤x≤5），
故当x=1时，函数取得最小值为1，当x=-5时，函数取得最大值为37．
（2）若函数f（x）在[-5，5]上具有单调性，
f（x）=x²+2ax+2 的图象的对称轴方程为x=-a，
∴-a≤-5，或-a≥5，
即a≥5或a≤-5，
（3）由函数f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 
①当a≤-5，f（x）∈[27+10a，27-10a]；
②当-5＜a＜0时，f（x）∈[2-a²，27-10a]；
③当0≤a＜5时，[2-a²，27+10a]；
④当a≥5时，[27-10a，27+10a]．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属中档题．