Question

已知数列{a_n}满足2a_n+1+a_n=3（n∈N^*），且a₁=7，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-4|＜

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2014

的最小整数n是（　　）

• A、11
• B、12
• C、13
• D、14

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得{a_n-1}是首项为6，公比为-

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2

的等比数列，从而S_n-n-4=-4×（-

1

2

）ⁿ．由|S_n-n-4|＜

1

2014

，得2^n-2＞2014，由此能求出满足条件的最小正整数n．

解答： 解：∵2a_n+1+a_n=3，∴a_n+1-1=-

1

2

（a_n-1），
所以{a_n-1}是首项为6，公比为-

1

2

的等比数列，
故a_n-1=6×（-

1

2

）^n-1，
则S_n=n+

6[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=n+4-4×（-

1

2

）ⁿ，
∴S_n-n-4=-4×（-

1

2

）ⁿ．
∵|S_n-n-4|＜

1

2014

，
∴

1

2n-2

＜

1

2014

，∴2^n-2＞2014，
又2¹⁰=1024，2¹¹=2048，所以满足条件的最小正整数n=13．
故选：C．

点评：本题考查满足不等式|S_n-n-4|＜

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2014

的最小整数n的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．