Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$上．
（1）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△AOB面积为定值；
（2）直线$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+4$与圆M交于不同的两点C，D，|OC|=|OD|，求圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设圆M的方程为${（x-t）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{3}}}{t}）^2}={t^2}+\frac{3}{t^2}$，求出圆M分别与x轴、y轴交于点A、B的坐标，利用面积公式，可得：△AOB的面积为定值；
（2）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再验证，即可求圆M的方程．

解答 解：（1）证明：由题意可设圆M的方程为${（x-t）^2}+{（y-\frac{{\sqrt{3}}}{t}）^2}={t^2}+\frac{3}{t^2}$，
即${x^2}+{y^2}-2tx-\frac{{2\sqrt{3}}}{t}y=0$．令x=0，得$y=\frac{{2\sqrt{3}}}{t}$；令y=0，得x=2t．
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|=\frac{1}{2}|2t|•|\frac{{2\sqrt{3}}}{t}|=2\sqrt{3}$（定值）．
（2）由|OC|=|OD|，知OM⊥l．所以${k_{OM}}=\frac{{\sqrt{3}}}{t^2}=\sqrt{3}$，解得t=±1．
当t=1时，圆心M$（1，\sqrt{3}）$到直线$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+4$的距离$d=2（\sqrt{3}-1）$小于半径，符合题意；
当t=-1时，圆心M$（-1，-\sqrt{3}）$到直线$l：y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+4$的距离$d=2（\sqrt{3}+1）$大于半径，不符合题意．
所以，所求圆M的方程为${（x-1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．