Question

18．来自某校一班和二班的共计9名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是$\frac{20}{21}$．
（Ⅰ）求清扫卫生岗位恰好一班1人、二班2人的概率；
（Ⅱ）设随机变量X为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求X分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“至少一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，
利用对立事件计算对应的概率值，
求出“清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人”的概率值；
（Ⅱ）根据题意知X的所有可能值，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）记“至少一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，
则A的对立事件为“没有一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”，
设有一班志愿者x个，1≤x＜9，那么$P（A）=1-\frac{{C_{9-x}^3}}{C_9^3}=\frac{20}{21}$，
解得x=5，即来自一班的志愿者有5人，来自二班志愿者4人；
记“清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人”为事件C，
那么$P（C）=\frac{C_5^1C_4^2}{C_9^3}=\frac{5}{14}$，
所有清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人的概率是$\frac{5}{14}$；
（Ⅱ）根据题意，X的所有可能值为0，1，2，3；
$P（X=1）=\frac{C_5^1C_4^2}{C_9^3}=\frac{5}{14}$，
$P（X=1）=\frac{C_5^2C_4^1}{C_9^3}=\frac{10}{21}$，
$P（X=3）=\frac{C_5^3C_4^0}{C_9^3}=\frac{5}{42}$，
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{42}$

数学期望为$E（X）=0×\frac{1}{21}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{10}{21}+3×\frac{5}{42}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是基础题．