题目内容
11．过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为右焦点F，A、B分别为椭圆C的左顶点和上顶点，且AB∥OP，$|{AF}|=\sqrt{6}+\sqrt{3}$．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若动直线l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆恒过坐标原点O．问是否存在一个定圆与动直线l总相切．若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由点P的坐标计算可得KOP与KAB，又由AB∥OP，得$\frac{b^2}{ac}=\frac{b}{a}$，化简可得b=c，$a=\sqrt{2}c$，进而由椭圆的几何性质可得a、b的值，将a、b的值代入方程即可得答案；
（2）先假设存在这样的圆，分析可得x1x2+y1y2=0，按直线的斜率存在与否分两种情况讨论，设出直线的方程，求出原点O到直线l的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
解答 解：（1）由题意得$P（{c，\frac{b^2}{a}}）$，所以${k_{OP}}=\frac{b^2}{ac}$，${k_{AB}}=\frac{b}{a}$．
由AB∥OP，得$\frac{b^2}{ac}=\frac{b}{a}$，解得b=c，$a=\sqrt{2}c$，
由$|{AF}|=a+c=\sqrt{6}+\sqrt{3}$，得$b=c=\sqrt{3}$，$a=\sqrt{6}$，
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）假设存在这样的圆．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
由已知，以MN为直径的圆恒过原点O，即$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{ON}$，所以x1x2+y1y2=0．
当直线l垂直于x轴时，x1=x2，y1=-y2，所以$x_1^2-y_1^2=0$，
又$\frac{x_1^2}{6}+\frac{y_1^2}{3}=1$，解得$x_1^2=y_1^2=2$，
不妨设$M（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，$N（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}}）$或$M（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，$N（{-\sqrt{2}，-\sqrt{2}}）$，
即直线l的方程为$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，
此时原点O到直线l的距离为$d=\sqrt{2}$．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+m，
解$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$消去y得方程：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0，
因为直线l与椭圆C交于M，N两点，
所以方程的判别式△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-6）＞0，即m2＜3（k2+2），
且${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-6}}{{1+2{k^2}}}$．
由x1x2+y1y2=0，得x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=$（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，
所以$（{1+{k^2}}）\frac{{2{m^2}-6}}{{1+2{k^2}}}$$-\frac{{4{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+{m^2}=0$，
整理得m2=2（1+k2）（满足△＞0）．
所以原点O到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}$．
综上所述，原点O到直线l的距离为定值$\sqrt{2}$，即存在定圆x2+y2=2总与直线l相切．
点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，需要直线的斜率存在与否进行分类讨论．
已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点A（2，1）．| A． | 1 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |