Question

13．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且△POQ的三边所在直线的斜率满足$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点F（1，0）作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$，得$\frac{x}{y}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{y-2}$，即可求点P的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过F倾斜角为60°的直线L：y=$\sqrt{3}$（x-1），与抛物线方程联立得：y²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y-4=0，利用韦达定理，即可求△AOB的面积．

解答 解：（1）设点P的坐标为P（x，y），则k_OP=$\frac{y}{x}$，k_OQ=2，k_PQ=$\frac{y-2}{x-1}$，
由$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$，得$\frac{x}{y}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{y-2}$．
整理得点P的轨迹的方程为：y²=4x（y≠0，y≠2）；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过F倾斜角为60°的直线L：y=$\sqrt{3}$（x-1），
与抛物线方程联立得：y²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y-4=0，则y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，y₁y₂=-4，
∴S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{\frac{16}{3}+16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查斜率的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．