Question

1．在四棱锥S-ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4$\sqrt{2}$的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出P到AC的距离最小值，AC，即可求出△PCA面积的最小值．

解答 解：设P到BC的距离为x，则P到AC的距离为$\sqrt{{x}^{2}+（\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}（x-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{1}{3}}$，
∴x=$\frac{2}{3}$时，P到AC的距离最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵底面ABCD是边长为4$\sqrt{2}$的菱形，∠BCD=60°，
∴AC=$\sqrt{32+32-2×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}×（-\frac{1}{2}）}$=4$\sqrt{6}$，
∴△PCA面积的最小值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．