Question

18．已知$\overline a=（2\;，\;\;-1\;，\;\;3）$，$\overline b=（-1\;，\;\;4\;，\;\;-2）$，$\overline c=（7\;，\;\;5\;，\;\;λ）$．若$\overline a$，$\overline b$，$\overline c$共面，则$\overline c$在$\overline a$上的投影为$\frac{18\sqrt{14}}{7}$．

Answer 1

分析 三个空间向量共面，其充要条件为由它们组成的三阶行列式的值为零．

解答 解：∵$\overline a=（2\;，\;\;-1\;，\;\;3）$，$\overline b=（-1\;，\;\;4\;，\;\;-2）$，$\overline c=（7\;，\;\;5\;，\;\;λ）$．$\overline a$，$\overline b$，$\overline c$共面，
∴$|\begin{array}{l}{2}&{-1}&{3}\\{-1}&{4}&{-2}\\{7}&{5}&{λ}\end{array}|$=8λ-15+14-84+20-λ=0，
解得λ=$\frac{65}{7}$，∴$\overrightarrow{c}$=（7，5，$\frac{65}{7}$），
∴$\overline c$在$\overline a$上的投影为：|$\overrightarrow{c}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{14-5+\frac{195}{7}}{\sqrt{4+1+9}}$=$\frac{18\sqrt{14}}{7}$．
故答案为：$\frac{18\sqrt{14}}{7}$．

点评 本题考查一个向量在另一个向量上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面的性质的合理运用．