Question

已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=2，a_n+1=S_n+n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=9，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
①求{b_n}的通项公式；
②求证：当n≥2时，

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

＜

5

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系即可求{a_n}的通项公式；
（2）根据等差数列和等比数列的公式以及利用放缩法即可证明不等式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=S_n+n，
∴a_n=S_n-1+n-1，n≥2，
∴两式相减得到a_n+1-a_n=a_n-1，
则a_n+1=2a_n+1，n≥2
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=2，a_n+1=S_n+n，
∴a₂=S₁+1=2+1=3，
则a₁+1=3，a₂+1=4，
∴当n≥2，a_n+1=4×2^n-2=2ⁿ，
即a_n=2ⁿ-1，n≥2．
∵a₁+1=3，
∴通项公式a_n=

2， n=1 2n-1， n≥2

．
（2）①设{b_n}的公差为d，由T₃=9得，可得b₁+b₂+b₃=9，可得b₂=3，
故可设b₁=3-d，b₃=3+d，
又∵a₁=2，a₂=3，a₃=7，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
即5-d，6，10+d，成等比数列，
∴可得（5-d）（10+d）=6²=36，
即d²+5d-14=0
解得d=2，或d=-7，
∵等差数列{b_n}的各项为正，
∴d＞0，
∴d=2，则首项b₁=3-d=3-2=1，
则b_n=1+2（n-1）=2n-1．
②∵b_n=2n-1，
∴b_n²=（2n-1）²．
则

1

bn2

=

1

(2n-1)2

，
∵

1

bn2

=

1

(2n-1)2

=

1

4n2-4n+1

＜

1

4n2-4n

=

1

4

•

1

n(n-1)

=

1

4

（

1

n-1

-

1

n

），n≥2，
∴

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

＜1+

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=1+

1

4

-

1

4n

＜

5

4

点评：本题主要考查递推数列的应用，利用数列和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键．