Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的焦距等于4

6

，它的一条弦所在直线方程是x-y+4=0，若此弦的中点坐标为（-3，1），求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，再设出直线与椭圆的两个交点的坐标，代入椭圆方程，利用点差法得到

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，代入中点坐标和直线的斜率，得到a，b的关系，结合椭圆的焦距及隐含条件求解a²，b²的值，则椭圆方程可求．

解答： 解：由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
再设直线x-y+4=0与椭圆的两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
作差得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，
即

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

，
∵弦的中点坐标为（-3，1），∴-

-6b2

2a2

=1，即a²=3b²  ①，
∵2c=4

6

，c=2

6

  ②，
又a²=b²+c²  ③，
联立①②③得：a²=36，b²=12．
∴椭圆的方程为

x2

36

+

y2

12

=1．

点评：本题考查了直线与椭圆的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，考查了学生的计算能力，是中档题．