Question

17．已知数列{a_n}中，a₁=2，n≥2时，a_n=$\frac{7{a}_{n-1}-3}{3{a}_{n-1}+1}$，则使得a_n≥$\frac{13}{11}$成立的最大正整数n=7．

Answer 1

分析 先计算出前几项，再进行归纳猜想，证明，由此求出数列{a_n}的通项公式，结合a_n≥$\frac{13}{11}$，求得最大正整数n的值．

解答 解：已知数列{a_n}中a₁=2，当n≥2时，a_n=$\frac{7{a}_{n-1}-3}{3{a}_{n-1}+1}$，
∴a₂=$\frac{11}{7}$，
a₃=$\frac{7}{5}$=$\frac{14}{10}$，
a₄=$\frac{17}{13}$
…
猜想a_n=$\frac{3n+5}{3n+1}$．
①当n=1时，显然成立．
②假设n=k（k≥1）时成立，即a_k=$\frac{3k+5}{3k+1}$，
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{7{a}_{k}-3}{3{a}_{k}+1}$=$\frac{3k+11}{3k+7}$=$\frac{3（k+1）+5}{3（k+1）+3}$．
由①②知，a_n=$\frac{3n+5}{3n+1}$．
由a_n≥$\frac{13}{11}$，
得$\frac{3n+5}{3n+1}$$≥\frac{13}{11}$．
即$n≤\frac{42}{6}$．
∵n为正整数，
∴n的最大值为7．
故答案为：7．

点评 本题考查数列的递推公式的应用，解题时注意合理地进行猜想和数学归纳法的灵活运用，考查了等比关系的确定，训练了不等式的解法，是中档题．