Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0（x＞0），则不等式x²f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先根据[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0判断函数$\frac{f（x）}{x}$的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系，再根据函数的奇偶性判断-1＜x＜0和x＜-1时f（x）与0的关系，最后取x的并集即可得到答案．

解答 解：[$\frac{f（x）}{x}$]′=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，即x＞0时$\frac{f（x）}{x}$是增函数，
当x＞1时，$\frac{f（x）}{x}$＞f（1）=0，f（x）＞0．
0＜x＜1时，$\frac{f（x）}{x}$＜f（1）=0，f（x）＜0，
又f（x）是奇函数，所以-1＜x＜0时，f（x）=-f（-x）＞0，
x＜-1时f（x）=-f（-x）＜0，
则不等式x²f（x）＞0即f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．