Question

2．设函数f（x）=-2x²+ax-lnx（a∈R），g（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$+3．
（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；
（II）若对任意x∈（0，e），都有唯一的x_o∈[e^-4，e]，使得g（x）=f（x_o）+2x_o²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意即可得出4x²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，从而有△≤0或者$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{a}{8}＜0}\end{array}\right.$，这样便可解出实数a的取值范围；
（Ⅱ）可求g′（x），根据导数符号便可得出g（x）在（0，e）上的值域，并设h（x）=f（x）+2x²=ax-lnx，m=g（x），从而可将问题转化为任意的m∈（3，4]，存在唯一的${x}_{0}∈[{e}^{-4}，e]$，使得h（x₀）=m，求导数$h′（x）=\frac{ax-1}{x}$，然后可讨论a的取值：$a≤\frac{1}{e}，a≥{e}^{4}$，和$\frac{1}{e}＜a＜{e}^{4}$，在每种情况里可通过求函数h（x）的最大值或最小值，以及端点值即可求出满足条件的a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$f′（x）=\frac{-4{x}^{2}+ax-1}{x}$，由题：f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立；
即4x²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴△=a²-4×4×1≤0，得，-4≤a≤4；
或$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4×4×1＞0}\\{\frac{a}{8}＜0}\end{array}\right.$，故a＜-4；
综上，a≤4；
（Ⅱ）∵g′（x）=e^1-x（1-x），∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减；
且g（0）=3，g（1）=4，g（e）=e^2-e+3＞3；
∴g（x）的值域为（3，4]；
记h（x）=f（x）+2x²=ax-lnx，m=g（x）；
原问题等价于?m∈（3，4]，存在唯一的${x}_{0}∈[{e}^{-4}，e]$，使得h（x₀）=m成立；
∵$h′（x）=a-\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，x∈[e^-4，e]；
①当$a≤\frac{1}{e}$时，h′（x）≤0恒成立，h（x）单调递减；
由$h（x）_{max}=h（{e}^{-4}）=a{e}^{-4}+4≥4$，h（x）_min=h（e）=ae-1≤3，解得$0≤a≤\frac{1}{e}$；
②当a≥e⁴时，h′（x）≥0恒成立，h（x）单调递增，$h（x）_{min}=h（{e}^{-4}）=a{e}^{-4}+4＞4$，不合题意，舍去；
③当$\frac{1}{e}＜a＜{e}^{4}$时，h（x）在$[{e}^{-4}，\frac{1}{a}]$上单调递减，在$[\frac{1}{a}，e]$上单调递增；
且h（e^-4）=ae^-4+4＞4，h（e）=ae-1；
要满足条件，则ae-1≤3；
∴$\frac{1}{e}＜a≤\frac{4}{e}$；
综上所述，a的取值范围是$[0，\frac{4}{e}]$．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及一元二次不等式的解法，熟悉二次函数的图象，以及根据导数求函数最值的方法和过程，函数单调性定义的运用．