如图.曲线C由上半椭圆${C 1}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$和部分抛物线${C 2}:y=-{x^2}+1$连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．(1)求a.b的值,(2)过点B的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.是否存在直线l.使得PQ为直径的圆恰好过点A.若存在直线l� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，曲线C由上半椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0，y≥0）$和部分抛物线${C_2}：y=-{x^2}+1（y≤0）$连接而成，C₁与C₂的公共点为A，B，其中C₁的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C₁，C₂分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得PQ为直径的圆恰好过点A，若存在直线l的方程；若不存在，请说明理由．

分析（1）在C₁，C₂的方程中，令y=0，可得b=1，且A（-1，0），B（1，0）是上半椭圆C₁的左右顶点，设C₁的半焦距为c，由$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$及a²-c²=b²-1，联立解得a．
（2）由（1），上半椭圆C₁的方程为$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1（y≥0）$，由题意知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为
y=k（x-1）（k≠0），代入C₁的方程，整理得（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0，设点P的坐标为（x_P，y_P），由求根公式，得点P的坐标为$（\frac{{{k^2}-4}}{{{k^2}+4}}，\frac{-8k}{{{k^2}+4}}）$，同理，由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1），k≠0}\\{y=-{x}^{2}+1，y≤0}\end{array}\right.$，得点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k），依题意可知AP⊥AQ，所以$\overrightarrow{A{P_1}}•\overrightarrow{AQ}=0$，即可得出k．

解答解：（1）在C₁，C₂的方程中，令y=0，可得b=1，且A（-1，0），B（1，0）是上半椭圆C₁的左右顶点，
设C₁的半焦距为c，由$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$及a²-c²=b²-1，
可得a=2，所以a=2，b=1．
（2）由（1），上半椭圆C₁的方程为$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1（y≥0）$，
由题意知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x-1）（k≠0），
代入C₁的方程，整理得（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0，
设点P的坐标为（x_P，y_P），
因为直线l过点B，所以x=1是方程的一个根，
由求根公式，得${x_P}=\frac{{{k^2}-4}}{{{k^2}+4}}，{y_P}=\frac{-8k}{{{k^2}+4}}$，所以点P的坐标为$（\frac{{{k^2}-4}}{{{k^2}+4}}，\frac{-8k}{{{k^2}+4}}）$，
同理，由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1），k≠0}\\{y=-{x}^{2}+1，y≤0}\end{array}\right.$，得点Q的坐标为（-k-1，-k²-2k），
所以$\overrightarrow{AP}=（\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}，\frac{{-8{k^2}}}{{{k^2}+4}}），\overrightarrow{AQ}=（-k，-{k^2}+2k）$，
依题意可知AP⊥AQ，所以$\overrightarrow{A{P_1}}•\overrightarrow{AQ}=0$，即$\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}•（-k）+\frac{{-8{k^2}}}{{{k^2}+4}}•（-{k^2}-2k）=0$，
即$\frac{{-2{k^2}}}{{{k^2}+4}}[k-4（k+2）]=0$，
因为k≠0，所以k-4（k+2）=0，解得$k=-\frac{8}{3}$，
经检验，$k=-\frac{8}{3}$符合题意，故直线l的方程为$y=-\frac{8}{3}（x-1）$．