Question

函数f（x）=2sinxcosx+m（sinx+cosx）-2，
（1）当m=1时，求f（x）的值域；
（2）若对于任意的x∈R，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,函数的值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，设sinx+cosx=t，得到t=

2

sin（x+

π

4

），从而有t∈[-

2

，

2

]．然后，结合二次函数的图象求解；
（2）首先，根据（1）的得到y=t²-1+mt-2，从而转化成t²+mt-3＜0，t∈[-

2

，

2

]．从而有

f(- 2 )＜0 f( 2 )＜0

，即可求解其范围．

解答： 解：（1）∵m=1，
∴f（x）=2sinxcosx+sinx+cosx-2，
设sinx+cosx=t，
∴t=

2

sin（x+

π

4

），
∴t∈[-

2

，

2

]．
2sinxcosx=t²-1，
∴y=t²-1+t-2
=（t+

1

2

）²-

13

4

，
∵t∈[-

2

，

2

]．
∴y∈[-

13

4

，

2

-1]．
∴f（x）的值域[-

13

4

，

2

-1]；
（2）根据（1），得
设sinx+cosx=t，
∴t=

2

sin（x+

π

4

），
∴t∈[-

2

，

2

]．
2sinxcosx=t²-1，
∴y=t²-1+mt-2
∴t²+mt-3＜0，t∈[-

2

，

2

]．
∴

f(- 2 )＜0 f( 2 )＜0

，
解得m∈（-

2

2

，

2

2

）．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、辅助角公式等知识，属于中档题．