Question

12．在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，现截去一个△PCQ，使P、Q分别落在边BC、CD上，且△PCQ的周长为8，设PC=x∈（0，2]，CQ=t．
（1）试用x表示t=f（x）；
（2）求矩形ABCD剩下部分面积的最小值？

Answer 1

分析 （1）根据题意和图象，利用勾股定理求出PQ，由△PCQ的周长为8列出方程，化简可得t=f（x）的表达式；
（2）由（1）和三角形、矩形的面积公式，表示出矩形ABCD剩下部分面积，求导化简后，利用二次函数的性质、导数的符号判断出函数的单调性，即可求出矩形ABCD剩下部分面积的最小值．

解答 解：（1）∵PC=x∈（0，2]，CQ=t，（x＞0、t＞0）
∴在RT△PCQ中，由勾股定理得，
PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+{x}^{2}}$，
∵△PCQ的周长为8，∴x+t+$\sqrt{{t}^{2}+{x}^{2}}$=8，
化简可得，32=8x+8t-xt，即（8-x）t=32-8x，
故t=f（x）=$\frac{32-8x}{8-x}$，（0≤x≤2）；
（2）由（1）得，
矩形ABCD剩下部分面积S=$5×2-\frac{1}{2}×t×x$
=10-$\frac{4x（4-x）}{8-x}$=$\frac{2（2{x}^{2}-13x+40）}{8-x}$，
∴S′（x）=$2•\frac{（2{x}^{2}-13x+40）′（8-x）-（2{x}^{2}-13x+40）（8-x）′}{（8-x）^{2}}$
=$4•\frac{-{x}^{2}+16x-32}{{（8-x）}^{2}}$=$4•\frac{-{（x-8）}^{2}+32}{{（8-x）}^{2}}$，
∵0≤x≤2，∴当x=2时，$4•\frac{-{（x-8）}^{2}+32}{{（8-x）}^{2}}$取到最大值是$-\frac{4}{9}＜0$，
∴当x∈[0，2]时，S′（x）＜0，则S（x）在[0，2]上递减，
当x=2时，S（x）取到最小值是$\frac{22}{3}$，
即矩形ABCD剩下部分面积的最小值是$\frac{22}{3}$．

点评 本题考查了函数解析式的求解，二次函数的性质，导数与函数单调性、最值的关系，考查化简、变形能力．