Question

17．在数列{a_n}中，a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：数列{a_n}单调递减；
（Ⅲ）求证：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知直接求得${a}_{2}=\sqrt{5}$，${a}_{3}=\sqrt{\sqrt{5}+2}$；
（Ⅱ）由已知得${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，则${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}+2$，进一步可得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n}-{a}_{n-1}$，结合a_n＞0，可得a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号，再由${a}_{2}-{a}_{1}=\sqrt{5}-3＜0$，可得a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，数列{a_n}单调递减；
（Ⅲ）由${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，得${{a}_{n}}^{2}-4={a}_{n-1}-2$，即（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，得$|{a}_{n}-2|=\frac{|{a}_{n-1}-2|}{{a}_{n}+2}$，由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，知a_n-2与a_n-1-2同号，知a_n-2＞0，得到$\frac{1}{{a}_{n}+2}＜\frac{1}{4}$．则答案得证．

解答 （Ⅰ）解：由a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，求得${a}_{2}=\sqrt{5}$，${a}_{3}=\sqrt{\sqrt{5}+2}$；
（Ⅱ）证明：a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，得a_n＞0，
且${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，则${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}+2$，
联立可得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n}-{a}_{n-1}$，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号，
由${a}_{2}-{a}_{1}=\sqrt{5}-3＜0$，可得a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1．
∴数列{a_n}单调递减；
（Ⅲ）证明：由${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，得${{a}_{n}}^{2}-4={a}_{n-1}-2$，
（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，
∴$|{a}_{n}-2|=\frac{|{a}_{n-1}-2|}{{a}_{n}+2}$，
由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，知a_n-2与a_n-1-2同号，
由于a₁-2=3-2=1＞0，可知a_n-2＞0，
∴a_n+2＞4，则$\frac{1}{{a}_{n}+2}＜\frac{1}{4}$．
∴|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…）．

点评 本题考查数列递推式，训练了放缩法证明数列不等式，属难题．