Question

1．设函数f（x）=x-ln（x+1）+$\frac{a-1}{a}$．
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤0有实数解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若m＞n＞0，求证：e^m-n-1＞ln（m+1）-ln（n+1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为f（x）_min≤0，求出函数的导数，得到函数的最小值，从而求出a的范围即可；
（Ⅱ）令a=1，则f（x）=x-ln（x+1），问题转化为证明e^m-n-1＞m-n即可，记 g（x）=e^x-x-1，（x＞0），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤0有实数解，即f（x）_min≤0…（1分）
∵$f'（x）=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$，（x＞-1），由 f'（x）＜0⇒-1＜x＜0
∴f（x）在（-1，0]递减，在[0，+∞）递增，$f{（x）_{min}}=f（0）=\frac{a-1}{a}$…（4分）
由 $\frac{a-1}{a}≤0$得 0＜a≤1，∴a的取值范围为（0，1]…（5分）
（Ⅱ）令a=1，则f（x）=x-ln（x+1），由（Ⅰ）知f（x）在[0，+∞）递增，
∵m＞n＞0，∴f（m）＞f（n）即 m-ln（m+1）＞n-ln（n+1）…（7分）
∴m-n＞ln（m+1）-ln（n+1），故要证原不等式，只要证：e^m-n-1＞m-n…（9分）
记 g（x）=e^x-x-1，（x＞0），则 g'（x）=e^x-1＞0…（10分）
∴g（x）在（0，+∞）递增，∴g（x）＞g（0）=0即 e^x-1＞x（x＞0）
令x=m-n，则有：e^m-n-1＞m-n，∴e^m-n-1＞ln（m+1）-ln（n+1）…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．