Question

3．如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，已知AC=BD=3．
（Ⅰ）求AB•AD的值；
（Ⅱ）求线段AE的长．

Answer 1

分析 （I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB∽△DAB，$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{BD}$，由此得到所证．
（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{BD}$，即AE•BD=AB•AD，再结合（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．

解答 解：（Ⅰ）∵AC切⊙O′于A，∴∠CAB=∠ADB，
同理∠ACB=∠DAB，∴△ACB∽△DAB，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{BD}$，即AC•BD=AB•AD．
∵AC=BD=3，∴AB•AD=9．…5分
（Ⅱ）∵AD切⊙O于A，∴∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{BD}$，即AE•BD=AB•AD．
由（Ⅰ）可知，AC•BD=AB•AD，
∴AE=AC=3．…10分．

点评 本题主要考查圆的切线的性质，利用两个三角形相似得到成比列线段是解题的关键，属于中档题．