Question

2．已知不等式ln（x+1）-（a+2）x≤b-2恒成立，则$\frac{b-3}{a+2}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{e}$-2
• B． 1-2e
• C． 1-e
• D． 2-$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 令y=ln（x+1）-（a+2）x-b+2，求出导数，分类讨论，进而得到b-3≥-ln（a+2）+a，可得$\frac{b-3}{a+2}$≥$\frac{-ln（a+2）+a}{a+2}$，再换元，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到$\frac{b-3}{a+2}$的最小值．

解答 解：令y=ln（x+1）-（a+2）x-b+2，则y′=$\frac{1}{x+1}$-（a+2），
a+2＜0，y′＞0，函数递增，无最值．
当a+2＞0时，-1＜x＜$\frac{-a-1}{a+2}$时，y′＞0，函数递增；当x＞$\frac{-a-1}{a+2}$时，y′＜0，函数递减．
则x=$\frac{-a-1}{a+2}$处取得极大值，也为最大值，且为-ln（a+2）+a-b+3，
∴-ln（a+2）+a-b+3≤0，
∴b-3≥-ln（a+2）+a，
∴$\frac{b-3}{a+2}$≥$\frac{-ln（a+2）+a}{a+2}$，
令t=a+2（t＞0），则y=$\frac{-lnt+t-2}{t}$，
∴y′=$\frac{1+lnt}{{t}^{2}}$，
∴（0，$\frac{1}{e}$）上，y′＜0，（$\frac{1}{e}$，+∞）上，y′＞0，
∴t=$\frac{1}{e}$，y_min=1-e．
∴$\frac{b-3}{a+2}$的最小值为1-e．
故选：C．

点评 本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题．