Question

5．若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂=f（f₁（n））…f_k+1=f_k（f（n）），k∈N^*则f₂₀₁₆（8）=（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 8
• D． 11

Answer 1

分析 根据题中的对应法则，算出f₁（8）、f₂（8）、f₃（8）、f₄（8）的值，从而发现规律f_k+3（8）=f_k（8）对任意k∈N^*成立，由此即可得到答案．

解答 解：∵8²+1=65，∴f₁（8）=f（8）=6+5=11，
同理，由11²+1=122得f₂（8）=1+2+2=5；由5²+1=26，得f₃（8）=2+6=8，
可得f₄（8）=6+5=11=f₁（8），f₅（8）=f₂（8），…，
∴f_k+3（8）=f_k（8）对任意k∈N^*成立
又∵2016=3×672，
∴f₂₀₁₆（8）=f₂₀₁₃（8）=f₂₀₀₀（8）=…=f₃（8）=8．
故选：C．

点评 本题给出函数f_k（x）的对应法则，求f₂₀₁₆（8）的值．着重考查了函数的定义、数列的递推公式和进行简单的合情推理等知识，属于基础题．