Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=4，AC=2$\sqrt{3}$，BD=2，又点E在侧棱PC上，且PC⊥平面BDE．
（1）求线段CE的长；
（2）求点A到平面PDC的距离．

Answer 1

分析 （1）由PC⊥平面BDE，连接OE，则OE⊥PC．利用勾股定理可得PC=2$\sqrt{7}$．求出点A到PC的距离d₁，可得OE=$\frac{1}{2}{d}_{1}$．在Rt△OEC中，CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，可得A到平面PDC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 解：（1）∵PC⊥平面BDE．BD∩AC=O，连接OE，则OE⊥PC．
在Rt△PAC中，PA=4，AC=2$\sqrt{3}$，∴PC=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴点A到PC的距离d₁=$\frac{4×2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．则OE=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
在Rt△OEC中，CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{2\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．
A（0，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），D（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，4）．
$\overrightarrow{PC}$=（0，2$\sqrt{3}$，-4），$\overrightarrow{DC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y-4z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（2\sqrt{3}，-2，-\sqrt{3}）$．
∴点A到平面PDC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直判定与性质定理、勾股定理、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．