已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1的左.右焦点依次为F1.F2.D($\frac{2}{3}$.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$)在椭圆E上.点G为点D关于原点的对称点．(1)求椭圆E的方程及点G的坐标,(2)求△F2DG的周长及面积,为椭圆E上不与点D.G重合的动点.且直线PD与PG的斜率均存在.判断直线PD.PG的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1（a＞1）的左、右焦点依次为F₁、F₂，D（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）在椭圆E上，点G为点D关于原点的对称点．
（1）求椭圆E的方程及点G的坐标；
（2）求△F₂DG的周长及面积；
（3）设点P（x，y）为椭圆E上不与点D、G重合的动点，且直线PD与PG的斜率均存在，判断直线PD、PG的斜率乘积是否为定值．若是，求出该值，若不是，请说明理由．

分析（1）把D点代入椭圆方程求出a即可；
（2）连结GF₁，DF₁，则四边形DF₁GF₂是平行四边形，利用椭圆的定义得出三角形的周长，代入面积公式计算面积；
（3）设P（2cosθ，sinθ），利用三角函数恒等变换计算k_PD•k_PG即可得出结论．

解答解：（1）∵D（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）在椭圆E上，
∴$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{9}$=1，解得a²=4，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）∵点G为点D关于原点的对称点，∴G（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
又F₂（$\sqrt{3}$，0），∴DG=2OD=2$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
连结DF₁，GF₁，则四边形DF₁GF₂是平行四边形，
∴DF₂+GF₂=DF₂+DF₁=2a=4．
∴△F₂DG的周长为4+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴△F₂DG的面积为2S${\;}_{△OD{F}_{2}}$=2×$\frac{1}{2}$×OF₂×y_D=$\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（3）设P点坐标为（2cosθ，sinθ），则k_PD=$\frac{sinθ-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2cosθ-\frac{2}{3}}$=$\frac{3sinθ-2\sqrt{2}}{6cosθ-2}$，
k_PG=$\frac{sinθ+\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2cosθ+\frac{2}{3}}$=$\frac{3sinθ+2\sqrt{2}}{6cosθ+2}$．
∴k_PD•k_PG=$\frac{3sinθ-2\sqrt{2}}{6cosθ-2}$•$\frac{3sinθ+2\sqrt{2}}{6cosθ+2}$=$\frac{9si{n}^{2}θ-8}{36co{s}^{2}θ-4}$=$\frac{1-9co{s}^{2}θ}{36co{s}^{2}θ-4}$=-$\frac{1}{4}$．
∴直线PD、PG的斜率乘积定值-$\frac{1}{4}$．