Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{16}+{\frac{y}{4}^2}$=1具有性质：若M（2，$\sqrt{3}$），N（-2，-$\sqrt{3}$）是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P（x，y）是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P的位置无关的定值-$\frac{1}{4}$．
（1）试对双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1写出具有类似特性的性质．
（2）对（1）问的结论加以证明．

Answer 1

分析 （1）直接类比椭圆的性质得到双曲线的性质；
（2）设P（x，y）是双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1上的任意一点，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是双曲线上的关于原点对称的两个点，把P，M的坐标代入双曲线方程，得到${y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}$，再求出k_PM、k_PN，求其乘积得答案．

解答 （1）解：类比椭圆可得，双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1具有性质：若M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是双曲线上关于原点对称的两个点，点P（x，y）是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P的位置无关的定值$\frac{1}{4}$；
（2）证明：设P（x，y）是双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$=1上的任意一点，
M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是双曲线上的关于原点对称的两个点．
则$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，
∴${y}^{2}=4（\frac{{x}^{2}}{16}-1），{{y}_{0}}^{2}=4（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}-1）$，
则${y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}=4（\frac{{x}^{2}}{16}-1）-4（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}-1）$=$\frac{1}{4}（{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$．
∴k_PM•k_PN=$\frac{y-{y}_{0}}{x-{x}_{0}}•\frac{y+{y}_{0}}{x+{x}_{0}}$=$\frac{{y}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}（{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）}{{x}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{1}{4}$，为定值．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、斜率计算公式，属于中档题．