Question

14．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量xOy（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和（单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，分别求出安装1台、2台、3台发电机后，水电站所获年总利润的均值，最后确定安装多少台发电机最好？欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

Answer 1

分析 （1）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；
（2）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．

解答 解：（1）依题意，P₁=P（40＜X＜80）=$\frac{10}{50}$=0.2，${P_2}=P（80≤X≤120）=\frac{35}{50}=0.7$，${P_3}=P（X＞120）=\frac{5}{50}=0.1$，
由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：P=C₄⁰（1-P₃）⁴+C₄¹（1-P₃）³P₃=0.9477．…（4分）
（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000．…．（6分）
②安装2台发电机．
依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，
因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=P₁=$\frac{10}{50}$=0.2，
当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P₂+P₃=0.8，
由此得Y的分布列如下

Y	4200	10000
P	0.2	0.8

所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．
③安装3台发电机的情形，
依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，
因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p₁=0.2，
当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2-800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p₂=0.7，
当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此P（Y=15000）=P（X＞120）=P₃=0.1，…．（10分）

Y	3400	9200	15000
P	0.2	0.7	0.1

由此得Y的分布列如下：EY=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．…．（12分）

点评 本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．