Question

18．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）H是椭圆E与y轴正半轴的交点，椭圆E上是否存在两点M，N使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得原点到直线x-y+$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，从而求得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1；
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），从而可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0），则HN所在直线的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1，从而与椭圆的方程联立以解出M，N的坐标，从而求|HM|，|HN|，从而解得．

解答 解：（1）原点到直线x-y+$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，
故b=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1；
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），
由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，
故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0），
则HN所在直线的方程为y=-$\frac{1}{k}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$求得交点M（-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+1），
∴|HM|=$\sqrt{（-\frac{8k}{1+4{k}^{2}}）^{2}+（-\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{8k\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
用-$\frac{1}{k}$代替上式中的k得，
|HN|=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+{k}^{2}}$，
由|HM|=|HN|得，k（4+k²）=1+4k²，
∴k³-4k²+4k-1=0⇒（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得：k=1或k=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
当HM斜率k=1时，HN斜率-1；当HM斜率k=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，HN斜率$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$；
当HM斜率k=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，HN斜率$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，
综上述，符合条件的三角形有3个．

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出HN、HM的长，利用|HM|=|HN|进行求解．