Question

4．已知圆C的圆心在直线y=2x上，并且过点A（0，1）和B（0，3）．
（1）求圆C的方程．
（2）若点P是圆C上的动点，坐标原点为O，求直线OP的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定圆心与半径，即可求圆C的方程．
（2）设直线OP的方程为kx-y=0，则圆心到直线的距离d=$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{2}$，即可求直线OP的斜率的取值范围．

解答 解：（1）AB的垂直平分线方程为y=2，与直线y=2x联立，可得圆心C（1，2），
∴圆的半径为$\sqrt{（1-0）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=2．
（2）设直线OP的方程为kx-y=0，则
圆心到直线的距离d=$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{2}$，
∴k²+4k-2≥0，
∴k$≤-2-\sqrt{6}$或k≥-2+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．