Question

13．已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$取最小值时，点Q的坐标是（　　）

• A． （$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• B． （-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• C． （$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，-$\frac{8}{3}$）
• D． （-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$，-$\frac{8}{3}$）

Answer 1

分析 根据题意，设出点Q的坐标，求出$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$的表达式，计算$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$取最小值时点Q的坐标．

解答 解：根据题意，点Q在直线OP上运动，$\overrightarrow{OP}$=（1，1，2）；
设Q（t，t，2t），
∵$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=（t-1，t-2，2t-3）•（t-2，t-1，2t-2）
=（t-1）（t-2）+（t-2）（t-1）+（2t-3）（2t-2）
=6t²-16t+10，
∴当t=$\frac{16}{2×6}$=$\frac{4}{3}$时，$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$取得最小值．
此时点Q的坐标是（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
故选：A．

点评 本题考查了空间向量的共线问题以及数量积的应用问题，是基础题目．