Question

已知向量

a

=（sin（α+

π

6

），3），

b

=（1，4cosα），α∈（0，π）．
（1）若

a

⊥

b

，求tanα的值；
（2）若

a

∥

b

，求α的值．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（1）由向量垂直结合向量的坐标表示得到sin(α+

π

6

)+12cosα=0，展开两角和的余弦后整理求得tanα；
（2）由

a

∥

b

，得4cosαsin(α+

π

6

)=3，展开两角和的余弦后整理求得sin(2α+

π

6

)=1．再由α的范围求得α值．

解答： 解：（1）

a

=（sin（α+

π

6

），3），

b

=（1，4cosα），
∵

a

⊥

b

，∴sin(α+

π

6

)+12cosα=0，
即

3

2

sinα+

1

2

cosα+12cosα=0，即

3

2

sinα+

25

2

cosα=0，
又cosα≠0，∴tanα=-

25 3

3

；
（2）若

a

∥

b

，则4cosαsin(α+

π

6

)=3，
即4cosα(

3

2

sinα+

1

2

cosα)=3，∴

3

sin2α+cos2α=3．
∴

3

sin2α+cos2α=2．
sin(2α+

π

6

)=1．
∵α∈（0，π），∴2α+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，
∴2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

．

点评：平行与垂直问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），则

a

⊥

b

?a₁a₂+b₁b₂=0，

a

∥

b

?a₁b₂-a₂b₁=0，是基础题．