Question

（Ⅰ）若x∈R，求f（x）=|x-1|+x的最小值S；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a，b∈R⁺，a²+b²≤S，试求2a+b的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）分别讨论x的取值范围，利用分段函数即可求f（x）=|x-1|+x的最小值S；
（Ⅱ）作出不等式对应的平，区域，利用线性规划以及数形结合的思想即可求2a+b的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当x≥1时，f（x）=|x-1|+x=2x-1为增函数，此时函数f（x）的最小值S=f（1）=1；
当x＜1时，f（x）=|x-1|+x=1-x+x=1，
综上函数f（x）的最小值S=f（1）=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S=1，若a，b∈R⁺，a²+b²≤1，则不等式对应的区域为半径为1的圆及其内部，
设z=2a+b，则b=-2a+z，
作出不等式对应的平面区域如图：
则当直线和圆在第一象限内相切时，z取得最大值．
此时圆心到直线的距离d=

|z|

22+1

=

|z|

5

=1，
解得z=±

5

，
则z的最大值为

5

．

点评：本题主要考查不等式的求解，利用线性规划的知识是解决本题的关键．