Question

直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，D、E分别为AC、AB边的中点．将△ADE沿DF折起，使△ADE沿DE折起，使△ADC为等边三角形，如图所示．
（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABC；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，证明DE⊥AC，然后结合DE∥BC，得到BC⊥平面ADC，从而命题得证；
（2）可以过点A作AM⊥CD，得到AM⊥平面CBED，然后，根据体积公式求解．

解答： 证明：（1）∵D、E是边AC、AB的中点，即DE是VABC的中位线，
∴DE⊥AC，
∵DE⊥DC，
∴DE⊥平面ADC，
∵DE∥BC，
∴BC⊥平面ADC，
∴面ADC⊥面ABC；
（2）过点A作AM⊥CD，
∴AM⊥平面CBED，
∵M是DC的中点，AM=

3

4

，
∴四棱锥A-BCDE的体积V=

1

3

×

3

4

×

1 2 +1

2

×

3

2

．
=

3 3

32

．

点评：本题综合考查了空间中垂直关系及其判断、体积公式的应用等知识，属于中档题．