Question

已知函数（）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式 .

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）见解析

试题分析：（1）求导数，对参数进行分类讨论，当导函数大于0时，得到增区间，导函数小于0时得到减区间。（2）含参数不等式恒成立问题，一般要把要求参数分离出来，然后讨论分离后剩下部分的最值即可。讨论最值的时候要利用导数判断函数的单调性。（3）证明不等式可以有很多方法，但本题中要利用（1）（2）的结论。构造函数，然后利用函数单调性给予证明。
试题解析：（1）函数的定义域为，        1分
当时，，从而，故函数在上单调递减  3分
当时，若，则，从而，
若，则，从而，
故函数在上单调递减，在上单调递增；          5分
（2）由（1）得函数的极值点是，故      6分
所以，即，
由于，即.              7分
令，则
当时，；当时，
∴在上单调递减，在上单调递增；           9分
故，所以实数的取值范围为          10分
（3）不等式       11分
构造函数，则，
在上恒成立，即函数在上单调递增，      13分
由于，所以，得
故      14分