Question

设函数，其导函数为.
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若为整数，若时，恒成立，试求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）的单调减区间是：，增区间是：；（3）整数k的最大值为2.

试题分析：（1）时，，求导函数得，可得切线方程；（2）,当在上单调递增，当时，通过可得函数的单调区间；（3）若时，恒成立，只需的最小值即可，，又在单调递增，而，知在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点且，得.可得整数k的最大值为2.
解：（1）因为时，，所以，
故切线方程是 
（2）的定义域为R，，
若在上单调递增；
若解得，
当变化时，变化如下表：

	减	极小值	增

 
所以的单调减区间是：，增区间是：． 
（3）即  ① ，
令则．
由（1）知，函数在单调递增，而，
所以在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，
且．
当时，；当时，，所以
．
又由，即得，所以，
这时．
由于①式等价，故整数k的最大值为2.