Question

20．已知函数f（x）=x-a-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：若0＜x₁＜x₂，则lnx₁-lnx₂＞1-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）法一：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而求出a的范围即可；
法二：分离参数，得到a≤x-lnx（x＞0），令g（x）=x-lnx（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
（2）先求出lnx≤x-1，得到ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，（0＜x₁＜x₂），整理即可．

解答 解：（1）解法1：f′（x）=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
即f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
可知f（x）的最小值是f（1）=1-a≥0，解得a≤1；
解法2：f（x）≥0，即a≤x-lnx（x＞0），
令g（x）=x-lnx（x＞0），
则g′（x）=$\frac{x-1}{x}$，（x＞0），
令g′（x）＞0，得x＞1；令g′（x）＜0，得0＜x＜1，
即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
可知g（x）的最小值是g（1）=1，可得a≤1；
（2）证明：取a=1，知f（x）=x-1-lnx，
由（1）知lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，
∴ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，（0＜x₁＜x₂），
整理得lnx₁-lnx₂＞1-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．