Question

5．定义在（-1，1）上的函数f（x）=x+sinx，如果f（1-a）+f（1-a²）＞0，那么能否确定a的取值范围？试说明理由．

Answer 1

分析 有意义函数f（x）=x+sinx且定义域（-1，1），并且此函数利用结论已得到其为奇函数，且为在定义域内为单调递增函数，所以f（1-a）+f（1-a²）＞0?f（1-a）＞f（a²-1），然后进行求解即可．

解答 解：能确定a的取值范围，理由如下：
由f（x）=x+sinx且定义域（-1，1），
求导得：f′（x）=1+cosx≥0在定义域上恒成立，
所以函数在定义域上为单调递增函数，
又因为y=x与y=-sinx均为奇函数，所以其和为奇函数，
所以f（1-a）+f（1-a²）＞0?f（1-a）＞f（a²-1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{1-a＞{a}^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1，

点评 此题考查了利用函数的单调性及奇偶性求解抽象函数的不等式，还考查了不等式的求解及集合的交集．