Question

【题目】解答题。
（1）已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．
（2）关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一个大于4，另一个小于4，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=4x2﹣kx﹣8的图象是开口朝上，且以x= 为对称轴的抛物线，

要使函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，

则 ≤5或 ≥20，

解得k≤40或k≥160

（2）解：设f（x）=mx2+2（m+3）x+2m+14，

当m=0时显然不合题意．

当m≠0时，若两根一个大于4，另一个小于4，

则 或

即

从而得

【解析】（1）要使函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则 ≤5或 ≥20，解得实数k的取值范围．（2）当m=0时显然不合题意．当m≠0时，若两根一个大于4，另一个小于4，则 或 ，解得m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．