Question

【题目】已知椭圆：的左焦点为，设是椭圆的两个短轴端点，是椭圆的长轴左端点．

（Ⅰ）当时，设点，直线交椭圆于，且直线的斜率分别为，求的值；

（Ⅱ）当时，若经过的直线与椭圆交于两点，O为坐标原点，求与的面积之差的最大值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）由条件，不妨设，则直线的斜率为，…1分

所以直线的方程为，代入，得，

解得，所以，，……4分

所以． ………………5分

（Ⅱ）设与的面积分别为，

当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设，则，的面积相等，即．………………6分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，

和椭圆方程联立得，消掉得，………………7分

显然，方程有实根，且．………………8分

此时．

因为，上式（当且仅当时等号成立），

所以的最大值为．………………12分

【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线斜率、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能

力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．