Question

3．已知函数f（x）=ae^xlnx在x=1处的切线与直线x+2ey=0垂直
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：xf（x）＞1-5e^x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到斜率k=ae=2e，求出a的值即可；
（Ⅱ）等价于证明2xlnx+$\frac{5}{e}$＞$\frac{1}{{e}^{x}}$，令g（x）=2xlnx+$\frac{5}{e}$，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，再求出y=$\frac{1}{{e}^{x}}$在（0，+∞）的最小值，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=a（e^xlnx+$\frac{{e}^{x}}{x}$），
由已知y=f（x）在x=1处的切线的斜率k=ae，
∴f′（1）=ae=2e，解得：a=2；
（Ⅱ）要证明xf（x）＞1-5e^x-1，
即证明2xe^xlnx＞1-5e^x-1，x＞0，
等价于证明2xlnx+$\frac{5}{e}$＞$\frac{1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=2xlnx+$\frac{5}{e}$，∴g′（x）=2（lnx+1），
0＜x＜$\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，x＞$\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，
∴g（x）=2xlnx在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{3}{e}$，
∵y=${（\frac{1}{e}）}^{x}$在（0，+∞）递减，
∴${（\frac{1}{e}）}^{x}$＜${（\frac{1}{e}）}^{0}$=1，
∴g（x）≥$\frac{3}{e}$＞1＞$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∴xf（x）＞1-5e^x-1．

点评 本题考查了切线斜率问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．