Question

19．点P是边长为2的正△ABC的边BC的中点，将△ACP沿AP折起，使得二面角C-AP-B为直二面角，点M为线段AC的中点，点N在线段BC上，且BN=2NC．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABNM的体积；
（Ⅱ）求二面角M-PN-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如图所示，由点P是边长为2的正△ABC的边BC的中点，可得AP⊥BC，折起后可得：AP⊥PB，AP⊥PC，因此∠BPC是二面角C-AP-B的平面角，为直二面角，可得PC⊥PB．由S_△CMN=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×$S_△ABC=$\frac{1}{6}$S_△ABC，可得四棱锥P-ABNM的体积=$\frac{5}{6}$×V_P-ABC．
（II）建立空间直角坐标系．由$\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{PN}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}$．设平面PMN的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．取平面PBN的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：（I）如图所示，∵点P是边长为2的正△ABC的边BC的中点，
∴AP⊥BC，折起后可得：AP⊥PB，AP⊥PC，
∴∠BPC是二面角C-AP-B的平面角，为直二面角，
∴PC⊥PB．
V_P-ABC=$\frac{1}{3}PC•{S}_{△APB}$=$\frac{1}{3}×1×$$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∵S_△CMN=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×$S_△ABC=$\frac{1}{6}$S_△ABC，
∴四棱锥P-ABNM的体积=$\frac{5}{6}$×V_P-ABC=$\frac{5}{6}×$$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{5\sqrt{3}}{36}$．
（II）建立空间直角坐标系．P（0，0，0），B（0，1，0），
A（1，0，0），C（0，0，1），M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
由$\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{PN}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}$=$（0，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$．
$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$）．
设平面PMN的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PM}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（1，2，-1）．
取平面PBN的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角M-PN-B的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了空间位置关系及其空间角、线面面面垂直的判定与性质定理、向量垂直与数量积的关系、法向量的应用、三棱锥体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．